2009年金融街PE中国私募股权市场投资研究报告

百度 　　曾经万宝路和可卡因是监狱的通用货币，现在成了老干妈。

Hodnost je termín z lineární algebry. Hodnost matice ozna?uje ${\boldsymbol {A}}$ dimenzi vektorového prostoru generovaného sloupci ${\boldsymbol {A}}$, co? odpovídá maximálnímu po?tu jejích lineárně nezávislych sloupc?. Lze ukázat, ?e hodnost matice je rovna dimenzi vektorového prostoru generovaného jejími ?ádky, ?ili maximálnímu po?tu lineárně nezávislych ?ádk?.

Hodnost matice je jednou z jejích základních charakteristik. Hodnost odpovídá mí?e ?nedegenerovanosti“ p?íslu?né soustavy lineárních rovnic, resp. lineárního zobrazení.

Hodnost se bě?ně ozna?uje jako $\operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}})$, v ?eské literatu?e i $h({\boldsymbol {A}})$. Je-li parametrem jen jedna matice, není t?eba psát závorky: $\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}$.

Definice

Pro matici ${\boldsymbol {A}}$ typu $m\times n$ s prvky z libovolného tělesa $K$ (nap?. reálnych ?i komplexních ?ísel) je

• Sloupcová hodnost matice ${\boldsymbol {A}}$ rovna dimenzi jejího sloupcového prostoru, neboli podprostoru $K^{m}$ generovaného sloupci matice ${\boldsymbol {A}}$.

• ?ádková hodnost matice ${\boldsymbol {A}}$ rovna dimenzi jejího ?ádkového prostoru, neboli podprostoru $K^{n}$ generovaného transpozicemi ?ádk? matice ${\boldsymbol {A}}$ (?ádky jsou transponovány, proto?e aritmetické vektory jsou obvykle sloupcové).

Jak je nazna?eno v odstavcích o vypo?tu hodnosti Gaussovou eliminací nebo o hodnostním rozkladu, sloupcová a ?ádková hodnost matice definované nad tělesem se v?dy shodují, a proto se ozna?uje jako hodnost matice ${\boldsymbol {A}}$. Dal?í ekvivalentní definice hodnosti jsou uvedeny v sekci Alternativní definice.

O matici ${\boldsymbol {A}}$ typu $m\times n$ se ?íká, ?e má plnou hodnost, pokud $\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}=\min\{m,n\}$, ?ili pokud má nejvy??í mo?nou hodnost mezi maticemi stejnych rozměr?.

Podobně lze definovat i hodnost lineárního zobrazení $f$ jako dimenzi jeho oboru hodnot:

$\operatorname {rank} (f)=\dim(\operatorname {img} (f))$,

kde symbol $\dim$ zna?í dimenzi vektorového prostoru a $\operatorname {img}$ zna?í obor hodnot zobrazení.

Ukázky

Reálná matice

${\begin{pmatrix}1&0&1\\-2&-3&1\\3&3&0\end{pmatrix}}$

má (sloupcovou) hodnost 2: První dva sloupce jsou lineárně nezávislé, tak?e hodnost je alespoň 2. T?etí sloupec je lineární kombinací prvních dvou (první mínus druhy), a tak jsou v?echny t?i sloupce lineárně závislé a hodnost je men?í ne? 3. Podobně je i ?ádková hodnost rovna dvěma, nap?. proto?e poslední ?ádek je nezávisly na prvním, ale prost?ední je jejich rozdílem.

Reálná matice

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{pmatrix}}$

má hodnost 1: Matice obsahuje i nenulové sloupce, tak?e hodnost je kladná, ale kterákoli dvojice sloupc? je lineárně závislá.

Matice k ní transponovaná

${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{pmatrix}}$

má také hodnost 1, proto?e první sloupec je netriviální a druhy sloupec je jeho (-1)-násobek. Sloupcové vektory matice ${\boldsymbol {A}}$ jsou ?ádkové vektory její transpozice ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$, a proto je tvrzení, ?e sloupcová hodnost matice se rovná její ?ádkové hodnosti, ve skute?nosti ekvivalentní tvrzení, ?e hodnost matice se nezmění p?i transpozici, tj. $\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}=\operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })$.

Vypo?et hodnosti

Gaussova eliminace

Podrobněj?í informace naleznete v ?lánku Gaussova eliminace.

Jednoduchym postupem k nalezení hodnosti matice je její redukce na ?ádkově odstupňovany tvar pomocí elementárních ?ádkovych úprav. ?ádkové úpravy nemění ?ádkovy prostor a proto nemění ani jeho dimenzi. Proto?e jsou elementární ?ádkové úpravy invertibilní, zobrazují sloupcovy prostor na izomorfní prostor, a tudí? zachovávají dimenzi sloupcovych prostor?. Nenulové ?ádky matice v odstupňovaném tvaru jsou lineárně nezávislé, a proto je hodnost rovna jejich po?tu, resp. po?tu pivot?. Sloupce s pivoty jsou ze stejného d?vodu lineárně nezávislé, generují ostatní nenulové sloupce a proto i cely sloupcovy prostor.

Ukázka

Reálnou matici

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{pmatrix}}$

lze p?evést do ?ádkově odstupňovaného tvaru pomocí následujících elementárních ekvivalentních ?ádkovych úprav:

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{pmatrix}}&\xrightarrow {2R_{1}+R_{2}\to R_{2}} {\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{pmatrix}}\xrightarrow {-3R_{1}+R_{3}\to R_{3}} {\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{pmatrix}}\\&\xrightarrow {R_{2}+R_{3}\to R_{3}} \,\,{\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{pmatrix}}\xrightarrow {-2R_{2}+R_{1}\to R_{1}} {\begin{pmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}$

Vysledná matice v ?ádkově odstupňovaném tvaru má dva nenulové ?ádky, a tudí? jsou hodnost vysledné matice i hodnost p?vodní matice ${\boldsymbol {A}}$ rovny 2.

Numerické zále?itosti

U vypo?t? s plovoucí desetinnou ?árkou na po?íta?ích m??e byt základní Gaussova eliminace (LU rozklad) numericky nespolehlivá. ú?innou alternativou je singulární rozklad (SVD). Vypo?etně jednodu??í mo?ností je vypo?et QR rozkladu s pivotováním, ktery je numericky stabilněj?í ne? Gaussova eliminace. P?i numerickych vypo?tech hodnosti je t?eba zavést kritérium, podle kterého se má s dostate?ně hodnotou zacházet jako s nulou (nap?. se singulární hodnotou ze SVD rozkladu). Volba vhodného kritéria závisí jak na matici, tak na aplikaci.

Alternativní definice

Ve v?ech definicích v této ?ásti je matice ${\boldsymbol {A}}$ brána jako matice typu $m\times n$ nad libovolnym tělesem $T$ .

Dimenze obrazu

Dané matici ${\boldsymbol {A}}$ odpovídá lineární zobrazení $f:T^{n}\to T^{m}$ definované vztahem $f({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {Ax}}$. Hodnost matice ${\boldsymbol {A}}$ je dimenze obrazu prostoru $T^{n}$ v zobrazení $f$. Uvedenym zp?sobem lze definovat hodnost lineárního zobrazení, ani? by bylo t?eba volit matici tohoto zobrazení.

Hodnost pomocí nulity

Hodnost lineárního zobrazení $f$ jako v p?edchozím odstavci je podle věty o dimenzích jádra a obrazu rovna rozdílu $n$ a dimenze jádra $f$.

Hodnostní rozklad

Hodnost ${\boldsymbol {A}}$ je nejmen?í celé ?íslo $k$ takové, ?e ${\boldsymbol {A}}$ lze rozlo?it na sou?in ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {CR}}$, kde ${\boldsymbol {C}}$ je matice typu $m\times k$ a ${\boldsymbol {R}}$ je matice typu $k\times n$. Uvedeny sou?in ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {CR}}$ se nazyvá hodnostní rozklad matice ${\boldsymbol {A}}$. Pro ka?dé celé ?íslo $k$ jsou toti? ekvivalentní následující podmínky:

1. sloupcová hodnost matice ${\boldsymbol {A}}$ je nejvy?e $k$,
2. existuje $k$ sloupcovych vektor? ${\boldsymbol {c}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {c}}_{k}$ délky $m$ takovych, ?e ka?dy sloupec ${\boldsymbol {A}}$ je lineární kombinací ${\boldsymbol {c}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {c}}_{k}$ ,
3. existují matice ${\boldsymbol {C}}$ typu $m\times k$ a matice ${\boldsymbol {R}}$ typu $k\times n$ takové, ?e ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {CR}}$,
4. existuje $k$ ?ádkovych vektor? ${\boldsymbol {r}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {r}}_{k}$ délky $n$ takovych, ?e ka?dy ?ádek ${\boldsymbol {A}}$ je lineární kombinací ${\boldsymbol {r}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {r}}_{k}$,
5. ?ádková hodnost matice ${\boldsymbol {A}}$ je nejvy?e $k$.

Ekvivalence lze p?ímo?a?e dokázat z díl?ích vztah?: $(1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)$. Nap?. pro d?kaz implikace $(2)\Rightarrow (3)$ se ${\boldsymbol {C}}$ sestaví ze sloupc? ${\boldsymbol {c}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {c}}_{k}$ a pro $(3)\Rightarrow (2)$ se za ${\boldsymbol {c}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {c}}_{k}$ vezmou sloupce matice ${\boldsymbol {C}}$.

Ekvivalence $(1)\Leftrightarrow (5)$ odpovídá ji? zmíněnému tvrzení, ?e ?ádková a sloupcová hodnost matice ${\boldsymbol {A}}$ se shodují.

Podobně jako v definici hodnosti pomocí dimenze ?dimenze obrazu“ lze uvedeny p?ístup zobecnit na definici hodnosti libovolného lineárního zobrazení $f:U\to V$ jako nejmen?í dimenzi $k$ meziprostoru $W$ takového, ?e $f$ lze zapsat jako slo?ení zobrazení $U\to W$ a zobrazení $W\to V$. Uvedená definice ov?em neposkytuje efektivní návod pro vypo?et hodnosti lineárního zobrazení.

Hodnost pomocí singulárních hodnot

Hodnost ${\boldsymbol {A}}$ je rovna po?tu nenulovych singulárních hodnot, co? odpovídá po?tu nenulovych diagonálních prvk? v matici ${\boldsymbol {\Sigma }}$ ze singulárního rozkladu ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {U\Sigma V}}^{*}$.

Hodnost pomocí determinantu – ?ád největ?ího nenulového minoru

Hodnost matice ${\boldsymbol {A}}$ je rovna ?ádu největ?ího nenulového subdeterminantu (minoru) ${\boldsymbol {A}}$. (?ád subdeterminantu se shoduje s ?ádem ?tvercové podmatice, z ní? je vypo?ten.) Stejně jako definice hodnosti pomocí rozkladu neposkytuje ani tato efektivní zp?sob vypo?tu hodnosti, ale je u?ite?ná teoreticky: ?ád ka?dého nenulového minoru je dolním odhadem hodnosti matice.

Podmatice ?ádu $k$ má nenulovy determinant právě kdy? je regulární, ?ili ?ádky a sloupce této podmatice jsou lineárně nezávislé. Odpovídající ?ádky a sloupce p?vodní matice jsou také lineárně nezávislé, tak?e (?ádková i sloupcová) hodnost je vět?í nebo rovna hodnosti definované pomocí minor?. Pro opa?nou nerovnost je t?eba z matice ${\boldsymbol {A}}$ vybrat $k$ jejích lineárně nezávislych sloupc? a $k$ lineárně nezávislych ?ádk?. ?tvercová podmatice ?ádu $k$ ur?ená vyběrem index? těchto ?ádk? a sloupc? je regulární a tudí? má nenulovy determinant.

Tenzorová hodnost

Hodnost matice ${\boldsymbol {A}}$ je nejmen?í p?irozené ?íslo $k$ takové, ?e ${\boldsymbol {A}}$ lze zapsat jako sou?et $k$ matic hodnosti 1. Na matici hodnosti 1 se zde nahlí?í jako na jednoduchy tenzor, co? je nenulovy maticovy sou?in ${\boldsymbol {cr}}^{\mathrm {T} }$ "sloupcového" vektoru ${\boldsymbol {c}}$ a "?ádkového" vektoru ${\boldsymbol {r}}^{\mathrm {T} }$.

Vlastnosti

Pokud není uveden jiny p?edpoklad, platí následující tvrzení pro matici ${\boldsymbol {A}}$ typu $m\times n$ nad tělesem $T$ (nap?. reálnych ?ísel), a lineární zobrazení $f:T^{n}\to T^{m}$ dané $f({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {Au}}$.

• Hodnost matice je nezáporné celé ?íslo a nep?esahuje ani jeden z jejich rozměr? $m$ a $n$. Formálně: $0\leq \operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}\leq \min\{m,n\}$

• Pouze nulová matice má nulovou hodnost.

• Jednotková matice $\mathbf {I} _{n}$ ?ádu $n$ má plnou hodnost $n$.

• ?tvercová matice ?ádu $n$ je regulární, právě kdy? má hodnost $n$ (tj. plnou hodnost).

• Matice ${\boldsymbol {A}}$ má hodnost 1, právě kdy? existují nenulové vektory ${\boldsymbol {c}}\in K^{m}$ a ${\boldsymbol {r}}\in K^{n}$ takové, ?e: ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {cr}}^{\mathrm {T} }$.

• Pro transponovanou matici platí $\operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}$, ?ili hodnost transponované matice je stejná jako hodnost p?vodní matice.

• Roz?í?ení pro reálné matice: Hodnost matice ${\boldsymbol {A}}$ a p?idru?ené Gramovy matice se shodují:

$\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}=\operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}})=\operatorname {rank} ({\boldsymbol {AA}}^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })$

Rovnost vyplyvá ze skute?nosti, ?e obě matice mají shodná jádra. Jádro Gramovy matice obsahuje vektory ${\boldsymbol {u}}$, pro které platí ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Au}}={\boldsymbol {0}}$, a následně i: $0={\boldsymbol {u}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Au}}=\left|{\boldsymbol {Au}}\right|$

• Pro hodnost komplexní matice ${\boldsymbol {A}}$ a její hermitovské transpozice ${\boldsymbol {A^{\mathrm {H} }}}$ platí:

$\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}=\operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} })=\operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}})=\operatorname {rank} ({\boldsymbol {AA}}^{\mathrm {H} })$

• Subaditivita: Pro matice ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ stejnych rozměr? platí: $\operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})\leq \operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}+\operatorname {rank} {\boldsymbol {B}}$. V d?sledku toho lze ka?dou matici hodnosti $k$ zapsat jako sou?et $k$ matic hodnosti 1, ale ne méně.

• Sou?inem matic se hodnost nezvy?í: $\operatorname {rank} ({\boldsymbol {AB}})\leq \min\{\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}},\operatorname {rank} {\boldsymbol {B}}\}$. Rovnost nastává v p?ípadě, kdy alespoň jedna z matic je regulární.

• Věta o dimenzích jádra a obrazu: Sou?et hodnosti matice a dimenze jejího jádra je roven po?tu jejích sloupc?, formálně: $\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}+\dim(\ker {\boldsymbol {A}})=n$.

• Sylvesterova nerovnost pro hodnost matic: Je-li ${\boldsymbol {A}}$ matice typu $m\times n$ a matice ${\boldsymbol {B}}$ je typu $n\times p$, potom platí:

$\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}+\operatorname {rank} {\boldsymbol {B}}-n\leq \operatorname {rank} ({\boldsymbol {AB}})$

Uvedená nerovnost vyplyvá z věty o dimenzích jádra a obrazu a nerovnosti $\dim(\ker {\boldsymbol {AB}})\leq \dim(\ker {\boldsymbol {A}})+\dim(\ker {\boldsymbol {B}})$. Zároveň je speciálním p?ípadem následující Frobeniovy nerovnosti.

• Frobeniova nerovnost: Je-li definován sou?in ${\boldsymbol {ABC}}$, pak platí:

$\operatorname {rank} ({\boldsymbol {AB}})+\operatorname {rank} ({\boldsymbol {BC}})\leq \operatorname {rank} {\boldsymbol {B}}+\operatorname {rank} ({\boldsymbol {ABC}})$

• Matice ${\boldsymbol {A}}$ má hodnost $k$, právě kdy? kdy? existují regulární matice ${\boldsymbol {L}}$ ?ádu $m$ a ${\boldsymbol {R}}$ ?ádu $n$ takové, ?e platí:

${\boldsymbol {LAR}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} _{k}&{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}\\\end{pmatrix}}$,

kde $\mathbf {I} _{k}$ je jednotková matice ?ádu $k$.

• Lineární zobrazení je prosté (injektivní), právě kdy? matice zobrazení má hodnost rovnu po?tu sloupc?: $\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}=n$. (V tomto p?ípadě se o matici ?íká, ?e má plnou sloupcovou hodnost.)

• Lineární zobrazení je na (surjektivní), právě kdy? matice zobrazení má hodnost rovnu po?tu ?ádk?: $\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}=m$. (?ili matice má plnou ?ádkovou hodnost.)

• Lineární zobrazení $f$ je bijektivní, právě kdy? je matice zobrazení regulární. Zobrazení inverzní k $f$ odpovídá matici ${\boldsymbol {A}}^{-1}$.

• Věta o dimenzích jádra a obrazu pro lineární zobrazení: Pro hodnost a dimenzi jádra lineárního zobrazení $f:U\to V$ platí:

$\dim V=\operatorname {rank} f+\dim(\ker f)$.

Pou?ití

Hodnost matice vyu?ívá Frobeniova věta pro rozhodnutí, zdali má soustava lineárních rovnic alespoň jedno ?e?ení, co? nastává právě kdy? se hodnost roz?í?ené matice shoduje s hodností matice soustavy. ?e?ení je jednozna?né, právě kdy? se hodnost shoduje s po?tem neznámych. Jinak má obecné ?e?ení $k$ volnych parametr?, kde $k$ je rozdíl mezi po?tem proměnnych a hodností. V tomto p?ípadě (a za p?edpokladu, ?e soustava rovnic je dána o oboru v reálnych nebo komplexních ?íslech) má soustava nekone?ně mnoho ?e?ení.

V teorii ?ízení m??e byt hodnost matice pou?ita k ur?ení, zda je lineární systém kontrolovatelny nebo pozorovatelny.

V oblasti komunika?ní slo?itosti platí, ?e hodnost komunika?ní matice funkce udává mez na mno?ství komunikace pot?ebné pro vypo?et této funkce dvěma stranami.

Terminologie

Podrobněj?í informace naleznete v ?lánku Regulární matice.

Pokud má ?tvercová matice plnou hodnost, ?ili pokud je tato rovna jejímu ?ádu, jde o regulární matici. Její ?ádky jsou lineárně nezávislé, a matice má nenulovy determinant a v?echna vlastní ?ísla jsou nenulová.

V opa?ném p?ípadě se matice nazyvá singulární. Její ?ádky jsou lineárně závislé a její determinant je roven nule.

Odkazy

Reference

V tomto ?lánku byly pou?ity p?eklady text? z ?lánk? Rank (linear algebra) na anglické Wikipedii a Rang (Lineare Algebra) na německé Wikipedii.

Literatura

• Slovník ?kolské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 
• B?RTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BE?Vá?, Jind?ich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADíK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OL?áK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2025-08-07]. Dostupné online. 
• MOTL, Lubo?; ZAHRADNíK, Milo?. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2025-08-07]. Dostupné online. 

Související ?lánky

• Dimenze vektorového prostoru
• Lineární závislost
• Lineární zobrazení
• Soustava lineárních rovnic

Portály: Matematika