Lineární algebra

百度因为在家里上班及工作量等原因，电台工作的报酬在扣除养老医疗保险等费用后也所剩不多。

Lineární algebra je odvětví matematiky, které se zabyvá vektory, vektorovymi prostory, soustavami lineárních rovnic a lineárními transformacemi. Jeliko? vektorové prostory jsou d?le?itou sou?ástí moderní matematiky, je lineární algebra d?le?itou sou?ástí jak abstraktní algebry, tak funkcionální analyzy. Aplikovaná lineární algebra se vyu?ívá nap?íklad v p?írodních vědách nebo sociálních vědách.

Historie

Moderní lineární algebra vznikla v letech 1843 a 1844. V roce 1843 vymyslel William Rowan Hamilton kvaterniony. V roce 1844 Hermann Grassmann publikoval svou knihu Die lineale Ausdehnungslehre. V roce 1857 pak Arthur Cayley publikoval svou ideu matic (velikosti 2×2).

Základní úvod

Lineární algebra má svoje po?átky ve studiu vektor? v kartézském dvourozměrném a trojrozměrném prostoru. Obecně jsou ale vektory jakékoliv objekty, které lze dob?e s?ítat a násobit ?íslem (viz vektorovy prostor).

Vektor je tedy nap?. směrovaná úse?ka a je charakterizovany jak svojí velikostí, která je dána délkou úse?ky, tak svym směrem. Takovéto vektory slou?í dob?e ve fyzice jako reprezentace tzv. vektorovych veli?in (rychlost, síla, intenzita magnetického pole, ...). Vektorem ale m??e byt také polynom, funkce nebo posloupnost. Z těchto vektor? m??eme navíc vybrat takové s nějakou vlastností, která se zachovává s?ítáním i násobením ?íslem (u funkcí spojitost nebo diferencovatelnost, u polynom? nejvy??í stupeň, u posloupností omezenost ...).

Takto uzav?enou mno?inu nazyváme vektorovy prostor. Jak vidíte, podstatnou vlastností je, ?e pokud se?teme dva vektory nebo vynásobíme vektor ?íslem, získáme zase vektor. M??e existovat kone?ná skupina vektor? takovych, ?e s?ítáním r?znych násobk? těchto vektor? lze získat jakykoliv libovolny vektor. Nap?. t?i navzájem kolmé úse?ky v kartézské soustavě t?írozměrného prostoru. Takovéto vektory nazyváme generátory. Pokud navíc platí, ?e ?ádny z generátor? nelze nakombinovat z ostatních, nazyváme je bází.

Po?et vektor? v bázi nazyváme dimenze. Jak snadno uhádnete, vektorovy prostor orientovanych úse?ek v rovině má dimenzi 2 a v prostoru 3. S polynomy je to slo?itěj?í. Lze dokázat, ?e kone?ná báze neexistuje. Pokud se v?ak omezíme na polynomy stupně nejvy?e 2 a nulovy polynom, bází se stane nap?. trojice 1, x, x². Ozna?me je p₁, p₂ a p₃. Pak jakykoliv polynom stupně nejvy?e 2 lze nakombinovat z těchto polynom?:
$5{x^{2}}+2x+3=5p_{3}(x)+2p_{2}(x)+3p_{1}(x).$
To ale není jediná báze, těch je nekone?ně mnoho.
Nap?. pro q₁(x) = x² + x + 1, q₂(x) = - x² + x + 1, q₃(x) = x - 1 je trojice q₁, q₂ a q₃ té? bází. Pak
$5{x^{2}}+2x+3={\frac {15}{4}}q_{1}-{\frac {5}{4}}q_{2}-{\frac {1}{2}}q_{3}.$

Pokud má báze t?i vektory, mají v?echny dal?í báze také t?i vektory a dimenze je 3. Obecně bychom mohli dokázat, ?e vektorovy prostor v?ech polynom? stupně nejvy?e n a nulového polynomu (ten stupeň nemá) má dimenzi n+1.

Podobně se zavádí sou?adnice. Pokud si bázi (p₁, p₂, p₃) ozna?íme P a podobně (q₁, q₂, q₃) Q, jsou sou?adnice na?eho vektoru, ozna?me jej v, v(x)=5 x² + 2 x + 3 v bázích P a Q:
$(v)_{P}=(3,2,5)$
$(v)_{Q}=\left({\frac {15}{4}},-{\frac {5}{4}},-{\frac {1}{2}}\right)$

Podstata lineární algebry je, ?e v?echna dokázaná tvrzení platí pro v?echny vektorové prostory, nezávisle na tom jak definujeme vektor, s?ítání vektor? nebo jejich násobení ?íslem. Sta?í pokud splňují podmínky pro vektorovy prostor.

U vektorovych prostor? je dále d?le?ité, co chápeme jako ?íslo. Odborně se to nazyvá volbou tělesa. Tělesem m??e byt mno?ina, kde lze dělit i od?ítat (tedy ne celá ?ísla). Minimálním tělesem obsahujícím celá ?ísla je mno?ina v?ech racionálních ?ísel, ?asto jsou pou?ívána ?ísla reálná a komplexní. Existují takté? tělesa s kone?nym po?tem prvk? (?ísel), nejjednodu??ím p?íkladem jsou zbytkové t?ídy prvo?ísel.

Lineární operátory p?evádí prvky z jednoho lineárního prostoru do druhého (nebo do toho samého prostoru) a zachovává p?itom vektorové s?ítání a násobení skalárem dané na těchto vektorovych prostorech. Mno?ina v?ech takovych transformací je také vektorovym prostorem.

Je-li báze kone?ně generovaného vektorového prostoru pevně zvolená, pak lze ka?dou lineární transformaci zapsat ve formě matice.

Detailní zkoumání vlastností matic a algoritm? prováděnych na maticích, v?etně vypo?tu determinantu a vlastních vektor? a ?ísel matice, je sou?ástí lineární algebry.

Obecná metoda, kdy je nalezen lineární zp?sob pohledu na nějaky problém, ten je pak vyjád?en v termínech lineární algebry a je vy?e?en nap?íklad pomocí matic, je jedna z nej?í?eji pou?itelnych metod v matematice.

Literatura

BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. 2. vyd. Praha: Academia, 2009. 303 s. ISBN 978-80-200-1707-9.

Související ?lánky

Externí odkazy

Obrázky, zvuky ?i videa k tématu lineární algebra na Wikimedia Commons

胖大海配什么喝治咽炎	吃巧克力有什么好处	咖啡伴侣是什么	wpc是什么意思	713是什么星座
830是什么意思	眼底出血是什么原因造成的	书五行属性是什么	三观不合是什么意思	胆囊壁毛糙吃什么药效果好
睚眦必报是什么意思	心肌酶高有什么症状	上嘴唇长痘痘是什么原因	肝胆相照是什么生肖	喝什么养胃最好
窦性心律逆钟向转位是什么意思	blood什么意思	绒穿和羊穿有什么区别	腿为什么肿	中老年补钙吃什么钙片好

西洋参和花旗参有什么区别hcv7jop7ns4r.cn	slogan是什么意思naasee.com	醋泡洋葱有什么功效hcv8jop3ns8r.cn	爱迪生发明什么hcv8jop2ns6r.cn	宝宝便秘吃什么食物好hcv7jop7ns3r.cn
ct是什么检查zhongyiyatai.com	一箭双雕是指什么生肖hcv9jop1ns8r.cn	初潮什么意思hcv9jop5ns1r.cn	不甚是什么意思onlinewuye.com	脚痒用什么药膏最有效hcv8jop0ns9r.cn
萎缩性胃炎吃什么药能治好hcv9jop3ns2r.cn	关灯吃面什么意思hcv9jop7ns5r.cn	什么是浅表性胃炎naasee.com	人流后吃什么水果hcv8jop4ns1r.cn	hrd阳性是什么意思hcv8jop6ns3r.cn
女人什么时候停经hcv7jop5ns4r.cn	巧囊是什么原因形成的hcv8jop4ns1r.cn	床头朝什么方向是正确的mmeoe.com	服兵役是什么意思hcv9jop2ns0r.cn	漱口杯什么材质好hcv8jop3ns2r.cn